Théorème de la limite monotone
Théorème
Théorème de la limite monotone :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction monotone sur un intervalle \(I\) de \(\Bbb R\) de bornes \(a\) et \(b\), \(-\infty\leqslant a\lt b\leqslant+\infty\)
Si \(x_0\in\mathring I\), alors \(f\) possède une limite à droite et à gauche en \(x_0\)
De plus, \(f\) possède une limite à gauche en \(b\) (éventuellement infinie) et une limite à droite en \(a\) (éventuellement infinie)
(
Intérieur d'un intervalle,
Limite à gauche - Limite à droite,
Fonction monotone)
Théorème de la limite monotone (dans \({\Bbb R}\)) :
- \(f\) monotone
- \(f\) définie sur un intervalle \(I\) de bornes \(a\) et \(b\) de \(\bar{\Bbb R}\) (avec \(a\lt b\))
- \(x_0\in I\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) possède une limite à droite et à gauche en \(x_0\)
- \(f\) possède une limite à gauche en \(b\) (éventuellement infinie)
- \(f\) possède une limite à droite en \(a\) (éventuellement infinie)
Démonstration
Preuve dans le cas où \(x_0\in\mathring I\) : ^[$$\begin{align}&\text{quitte à changer }f\text{ en }-f,\text{ on peut supposer que }f\text{ est croissante}\\ &\text{comme }x_0\in\mathring I,\exists\eta\gt 0,]x_0-\eta,x-0+\eta[\subset I\\ \\ &\text{démonstration pour la limite à droite (pour la gauche c'est pareil) :}\\ &\Omega^-=\{f(x):x_0-\eta\lt x\lt x_0\}\\ &\bullet\Omega^-\text{ est non vide }\left(f\left(x_0-\frac\eta2\right)\right)\\ &\bullet\Omega^-\text{ est majorée par }f(x_0)\text{ car }x\lt x_0\implies f(x)\lt f(x_0)\;(f\nearrow)\\ &\text{donc }\ell^-=\sup\Omega^-\text{ existe (et est fini)}\\ \\ &\text{montrons que }\lim_{x\underset{\lt }\to x_0} f(x)=\ell^-\\ &\text{soit }\varepsilon\gt 0.\text{ par définition de la borne supérieure,}\\ &\exists y\in\Omega^-,\ell^--\varepsilon\lt y\leqslant\ell^-\\ &\text{donc }\exists x_1,x_0-\eta\lt x_1\lt x_0\text{ tq }\ell^--\varepsilon\lt f(x_1)\leqslant\ell^-\\ &\text{posons }\delta=x_0-x_1\gt 0\\ &\text{pour }x\in]x_0-\delta_1,x_0[\implies x\in]x_1,x_0[\subset]x_0-\eta,x_0[\\ &\text{et on a :}\ell^--\varepsilon\underbrace{\leqslant}_{f\nearrow} f(x)\underbrace{\leqslant}_{f(x)\in\Omega^-}\ell^-\lt \ell^--\varepsilon\\ &\text{donc }\forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0,x_0-\delta\lt x\lt x_0\implies\lvert f(x)-\ell^-\rvert\lt \varepsilon\\ &\text{donc }\lim_{x\underset\lt \to x_0}=\ell^- \end{align}$$ (
Borne supérieure,
Borne inférieure)]
Corollaires
Remarque :
Si \(f\) est croissante sur \(I\), \(x_0\in\mathring I\), on a : $${{\lim_{x\underset\lt \to x_0}f(x)}}\leqslant {{f(x_0)}}\leqslant{{\lim_{x\underset\gt \to x_0}f(x)}}$$
Application : ^[soit \(f:\underset{x\longmapsto\log x}{]0,+\infty[\to\Bbb R}\), on a \(\underset{x\to+\infty}\lim\log x=+\infty\) $$\begin{align}&\text{la fonction }f\text{ est croissante}\\ &\text{par le théorème de la limite monotone,}\\ &\ell=\underset{x\to+\infty}\lim\log x\text{ existe dans }\Bbb R\cup\{+\infty\}\\ &\text{pour toute suite }(u_n)_{n\in\Bbb N},u_n\in]0,+\infty[,u_n\to+\infty,\\ &\text{on a : }\log(u_n)\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell\\ &\text{en particulier, pour }u_n=2^n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\tag{2 \gt 1}\\ &\log(u_n)=\log(2^n)=n\log2\underset{n\to+\infty}\longrightarrow +\infty\tag{log(2)\gt 0}\\ &\implies\ell=+\infty\end{align}$$]
Corollaire du théorème de la limite monotone :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) monotone sur un intervalle \(I\) de \(\Bbb R\)
On a : $$\begin{align}&{{f\text{ continue sur }I}}\\ \iff&{{f(I)\text{ est un intervalle} }}\end{align}$$
Corollaire du théorème de la limite monotone (type de l'image d'un ensemble) :
- \(f\) est une fonction réelle définie sur un intervalle \(I\)
- \(f\) est monotone
$$\Huge\implies$$
- $$f\text{ continue }\iff f(I)\text{ est un intervalle}$$
END
(
Fonction monotone,
Intervalle,
Continuité,
Image (algèbre linéaire))
Démonstration : ^[$$\begin{align}\implies:&\text{ TVI}\\ \impliedby:&\text{ supposons que }f(I)\text{ est un intervalle et que }f\text{ est continue}\\ &\text{montrons que }f\text{ est continue par l'absurde}\\ &\text{autrement dit, il existe }x_0\in I\text{ tel que }f\text{ n'est pas continue}\\ &\text{faisons la preuve dans le cas où }x_0\in\mathring I\\ &\text{d'après le théorème précédent, comme }f\nearrow,\\ &\text{on a : }\ell^-=\lim_{x\underset\lt \to x_0}f(x)\leqslant f(x_0)\leqslant\ell^+=\lim_{x\underset\gt \to x_0}f(x)\\ &\text{comme }f\text{ n'est pas continue en }x_0,\text{ on a : }\ell^-\lt f(x_0)\\ &\text{comme }x_0\in\mathring I,\exists\eta\gt 0,]x_0-\eta,x_0+\eta[\subset I\\ &\text{fixons }x_1\text{ tq }x_0-\eta\lt x_1\lt x_0\\ &\text{on a : }f(x_1)\leqslant\ell^-\leqslant f(x_0)\\ &\text{choisissons }y\text{ tq }\ell^-\lt y\lt f(x_0)\\ &\text{en particulier, }y\in]f(x_1),f(x_0)[\\ &\text{et comme }f(I)\text{ est un intervalle,}\\ &\text{il existe }x_2\in I,y=f(x_2)\\ &\text{d'où }\ell^-\lt f(x_2)=y\lt f(x_0)\\ &\text{comme }f\text{ est croissante, on a : }x_2\lt x_0\\ &\text{pour tout }x\in]x_2,x_0[,\ell^-\lt f(x_2)\leqslant f(x)\leqslant f(x_0)\\ &\text{d'où }\ell^-\lt f(x_2)\leqslant\lim_{x\underset\lt \to x_0}f(x)=\ell^-\\ &\implies\ell^-\lt \ell^-\qquad\text{(absurde)} \end{align}$$ (
Théorème des valeurs intermédiaires)]
Théorème de la limite monotone :
Si \((A_n)_{n\geqslant n_0}\) est une suite croissante d'événements, alors la suite \(({\mathcal P}(A_n))_{n\geqslant n_0}\) est convergente
(
Suite croissante d'évènements,
Suite convergente)
Théorème de la limite monotone :
Si \((A_n)_{n\geqslant n_0}\) est une suite croissante d'événements, alors $${{\Bbb P\left({\bigcap^{+\infty}_{n=n_0}A_n}\right) }}={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\Bbb P(A_n)}}$$
(
Suite croissante d'évènements,
Probabilité - Mesure de probabilité,
Union - Réunion,
Suite convergente)
Corollaire du théorème de la limite monotone : $${{\Bbb P\left({\bigcup^{+\infty}_{n=n_0}A_n}\right) }}={{\lim_{n\to+\infty}\Bbb P\left({\bigcup_{k=n_0}^nA_k}\right) }}$$
(
Union - Réunion,
Suite convergente)
Corollaire du théorème de la limite monotone : $${{\Bbb P\left({\bigcap^{+\infty}_{n=n_0}A_n}\right) }}={{\lim_{n\to+\infty}\Bbb P\left({\bigcap_{k=n_0}^nA_k}\right) }}$$
(
Union - Réunion,
Suite convergente)